Ableitungen
Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie schnell sich der Funktionswert ändert, wenn man sich entlang der x-Achse bewegt. Formal gesprochen, gibt die Ableitung einer Funktion in einem Punkt den Anstieg der Tangente an diesen Punkt an.
Grundlegende Ableitungsregeln
- Konstantenregel: Die Ableitung einer Konstanten ist immer Null.
\( f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0 \) (wobei \( c \) eine Konstante ist) - Potenzregel: Für \( f(x) = x^n \) (wobei \( n \) eine reelle Zahl ist), gilt:
\( f'(x) = n \cdot x^{(n-1)} \) - Summenregel: Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist die Summe ihrer Ableitungen.
\( f(x) = g(x) + h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x) \) - Produktregel: Für das Produkt zweier Funktionen \( g \) und \( h \) gilt:
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \) - Quotientenregel: Für den Quotienten zweier Funktionen \( g \) und \( h \) (wobei \( h(x) \neq 0 \)) gilt:
\( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \) - Kettenregel: Für die Verkettung zweier Funktionen \( g \) und \( h \) gilt:
\( f(x) = g(h(x)) \Rightarrow f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Anwendungen
Ableitungen spielen eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften. Sie werden verwendet, um Geschwindigkeiten, Steigungen, Krümmungen und viele andere Konzepte zu beschreiben, die mit der Änderungsrate in Zusammenhang stehen.
Rechenbeispiel für Ableitungen
Angenommen, wir haben die Funktion:
\( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x + 7 \).
Wir möchten die Ableitung \( f'(x) \) finden.
Schritt für Schritt
- Ableiten des ersten Terms mit der Potenzregel:
Der Term \( 2x^3 \) hat den Exponenten 3. Nach der Potenzregel ist die Ableitung:
\( (n \cdot x^{(n-1)}) = 3 \cdot 2x^{(3-1)} = 6x^2 \). - Ableiten des zweiten Terms mit der Potenzregel:
Für \( -5x^2 \) ist die Ableitung:
\( 2 \cdot (-5)x^{(2-1)} = -10x \). - Ableiten des dritten Terms:
Der Term \( 4x \) kann als \( 4x^1 \) betrachtet werden. Daher ist die Ableitung:
\( 1 \cdot 4x^{(1-1)} = 4 \). - Ableiten des konstanten Terms:
Der Term 7 ist eine Konstante. Die Ableitung einer Konstanten ist immer 0. - Ergebnis zusammenfassen:
Die Ableitung von \( f(x) \) ist gleich der Summe der Ableitungen ihrer einzelnen Terme. Somit ist:
\( f'(x) = 6x^2 - 10x + 4 \).
Zusammenfassung
Die Ableitung der gegebenen Funktion \( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x + 7 \) ist:
\( f'(x) = 6x^2 - 10x + 4 \).