Eigenschaften von Funktionen
Funktionen sind ein zentrales Konzept in der Mathematik. Sie beschreiben, wie eine Eingabe (oder ein Argument) einer Ausgabe (oder einem Wert) zugeordnet wird. Es gibt verschiedene spezielle Eigenschaften und Arten von Funktionen.
1. Umkehrfunktionen
Jede Funktion, die bijektiv ist, hat eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion ordnet jeder Ausgabe der ursprünglichen Funktion die entsprechende Eingabe zu. Sie wird durch das Symbol \( f^{-1} \) dargestellt.
Formal: Wenn \( y = f(x) \), dann \( x = f^{-1}(y) \).
2. Zusammengesetzte Funktionen
Zwei Funktionen können kombiniert werden, um eine zusammengesetzte Funktion zu erstellen. Wenn man eine Funktion \( g \) hat und diese in eine Funktion \( f \) "einsetzt", erhält man die zusammengesetzte Funktion \( f \circ g \).
Formal: \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \).
Beispielrechnung:
Gegeben sind die Funktionen \( f(x) = 2x + 3 \) und \( g(x) = x^2 \). Finde \( f \circ g(x) \) und \( g \circ f(x) \).
\( f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 3 \).
\( g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 \).