Gesetze der Mengenlehre
Mengenlehre ist ein fundamental wichtiges Gebiet der Mathematik, das die Grundlagen für viele andere Bereiche legt. Es gibt eine Reihe von Grundgesetzen, die das Verhalten von Mengen und deren Operationen beschreiben.
1. Gesetze für Vereinigungen, Schnitte und Differenzen von Mengen
Seien A und B Mengen:
- Vereinigung: \( A \cup B \) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.
- Schnitt: \( A \cap B \) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
- Differenz: \( A \setminus B \) ist die Menge aller Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind.
2. Distributiv- und Assoziativgesetze für Mengenoperationen
Für alle Mengen A, B und C gelten:
- Distributivgesetz: \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) und \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \).
- Assoziativgesetz: \( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \) und \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \).
Beispielrechnung:
Gegeben sind die Mengen \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{2, 3, 4\} \) und \( C = \{3, 4, 5\} \).
\( A \cap (B \cup C) = A \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 3\} \).
\( (A \cap B) \cup (A \cap C) = \{2, 3\} \cup \{3\} = \{2, 3\} \).
Man sieht, dass das Distributivgesetz gilt, da beide Ergebnisse übereinstimmen.