Grenzwertregeln
Grenzwerte sind ein fundamentales Konzept in der Analysis und ermöglichen das Verstehen von Funktionenverhalten in der Nähe bestimmter Punkte. Es gibt bestimmte Regeln, um Grenzwerte von Funktionen zu berechnen, besonders wenn sie aus Basisoperationen wie Summe, Produkt und Quotient bestehen.
1. Grenzwerte von Summen, Produkten und Quotienten
Für Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) mit den Grenzwerten \( L \) bzw. \( M \) gelten:
\( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M \)
\( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M \)
Wenn \( M \neq 0 \), dann \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} \)
2. Regel von L'Hôpital
Wenn beim Berechnen eines Grenzwertes die Form 0/0 oder ∞/∞ auftritt, dann kann man die Regel von L'Hôpital verwenden. Sie besagt:
Wenn \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) oder \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty \) und der Grenzwert \( \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existiert, dann:
\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)
Beispielrechnung:
Berechnen Sie den Grenzwert \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \).
Man sieht, dass hier die Form 0/0 auftritt. Mit Hilfe der Regel von L'Hôpital:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 \).