Integrationsregeln
Die Integration ist ein zentrales Konzept in der Analysis und dient im Wesentlichen dazu, den Flächeninhalt unter einer Kurve zu berechnen. Es gibt spezielle Techniken und Regeln, um das Integral bestimmter Funktionen zu berechnen.
1. Partielle Integration
Die Formel für die partielle Integration lautet:
\( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
wo \( u \) und \( v \) Funktionen von \( x \) sind und \( du \) bzw. \( dv \) ihre Ableitungen darstellen.
2. Substitutionsregel
Wenn Sie das Integral \( \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \) haben, dann können Sie die Substitution \( u = g(x) \) verwenden. Das Differential \( du \) ist gleich \( g'(x) \, dx \). Das Integral wird dann zu \( \int f(u) \, du \).
3. Integrationsregeln für rationale Funktionen
Rationale Funktionen sind Quotienten von Polynomen. Für solche Funktionen kann man oft die Methode der Partialbruchzerlegung verwenden, um das Integral zu berechnen.
Beispielrechnung:
Berechnen Sie das Integral \( \int x \, \sin(x) \, dx \) mittels partieller Integration.
Hier setzen wir \( u = x \) und \( dv = \sin(x) \, dx \).
Daraus folgt \( du = dx \) und \( v = -\cos(x) \).
Mit der Formel für die partielle Integration erhalten wir:
\( \int x \, \sin(x) \, dx = -x \, \cos(x) - \int (-\cos(x)) \, dx \)
\( = -x \, \cos(x) - \sin(x) + C \)
wo \( C \) eine Konstante ist.