Potenzgesetze
Potenzgesetze sind mathematische Regeln, die den Umgang mit Potenzen beschreiben. Sie sind äußerst nützlich, wenn man mit Exponenten arbeitet.
1. Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
Wenn man zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, addiert man ihre Exponenten:
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
Beispiel:\(2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)
2. Quotient von Potenzen mit gleicher Basis
Wenn man eine Potenz durch eine andere Potenz mit derselben Basis teilt, subtrahiert man ihre Exponenten:
\(a^m ÷ a^n = a^{m-n}\)
Beispiel:\(5^5 ÷ 5^2 = 5^{5-2} = 5^3 = 125\)
3. Potenz einer Potenz
Wenn man eine Potenz erneut potenziert, multipliziert man die Exponenten:
\((a^m)^n = a^{m×n}\)
Beispiel:\((3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6 = 729\)
4. Potenz von einem Produkt
Das Potenzieren eines Produktes entspricht dem Produkt der einzelnen Potenzen:
\((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
Beispiel:\((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
5. Potenz von einem Quotienten
Das Potenzieren eines Quotienten entspricht dem Quotienten der einzelnen Potenzen:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
Beispiel:\(\left(\frac{4}{2}\right)^3 = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8\)
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Gesetze nur gelten, wenn die Basis a und der Exponent n positiv sind. Bei negativen Zahlen oder Exponenten können sich andere Ergebnisse ergeben.