Rechengesetze für Matrizen
Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen oder Ausdrücken, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Die Mathematik mit Matrizen ist ein fundamentaler Bestandteil der linearen Algebra.
1. Assoziativgesetz für die Matrixmultiplikation:
Für drei Matrizen \( A, B \) und \( C \) (vorausgesetzt, die Multiplikationen sind definiert) gilt:
\[ A \times (B \times C) = (A \times B) \times C \]2. Distributivgesetze für die Matrixaddition und -multiplikation:
Für Matrizen \( A, B \) und \( C \) gilt:
\( A \times (B + C) = A \times B + A \times C \)
\( (A + B) \times C = A \times C + B \times C \)
Beispielrechnung:
Nehmen wir folgende Matrizen:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \)
\( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \)
\( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \)
Für das Distributivgesetz:
\( A \times (B + C) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 15 \\ \end{pmatrix} \)
Das entspricht \( A \times B + A \times C \).