Rechengesetze für Vektoren
Vektoren sind Pfeile oder Listen von Zahlen, die Größe und Richtung repräsentieren. Sie werden häufig in der Physik, in der Ingenieurwissenschaft und in anderen Bereichen der Mathematik verwendet. Die folgenden Gesetze betreffen die Vektoraddition und die Multiplikation mit Skalaren.
1. Kommutativgesetz für die Vektoraddition:
Für zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) gilt:
\[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \]2. Assoziativgesetz für die Vektoraddition:
Für drei Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \) und \( \vec{c} \) gilt:
\[ \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} \]3. Distributivgesetz für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar:
Für einen Vektor \( \vec{a} \) und Skalare \( k \) und \( l \) gilt:
\[ (k + l) \vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} \]Beispielrechnung:
Nehmen wir folgende Vektoren:
\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
\( \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
Für das Kommutativgesetz:
\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \)
Das entspricht \( \vec{b} + \vec{a} \).