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Die Logarithmusgesetze sind hilfreiche Regeln, die den Umgang mit Logarithmen vereinfachen. Sie erm÷glichen es uns, komplexe LogarithmenausdrŘcke in einfachere Formen zu zerlegen.

1. Produktregel

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen:

\(\log_b(a \times c) = \log_b(a) + \log_b(c)\)

Beispiel:

\(\log_2(8 \times 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5\)

2. Quotientenregel

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen:

\(\log_b\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) - \log_b(c)\)

Beispiel:

\(\log_3\left(\frac{27}{9}\right) = \log_3(27) - \log_3(9) = 3 - 2 = 1\)

3. Potenzregel

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Exponenten multipliziert mit dem Logarithmus der Basis:

\(\log_b(a^c) = c \times \log_b(a)\)

Beispiel:

\(\log_5(25^2) = 2 \times \log_5(25) = 2 \times 2 = 4\)

4. Basiswechselregel

Um die Basis eines gegebenen Logarithmus zu ńndern, kann man die Basiswechselregel verwenden:

\(\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}\)

Beispiel:

\(\log_2(8) = \frac{\log_10(8)}{\log_10(2)}\)

5. Logarithmus der Basis

Der Logarithmus von a mit Basis a ist immer 1:

\(\log_a(a) = 1\)

Beispiel:

\(\log_7(7) = 1\)

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Gesetze in der Regel fŘr alle positiven Zahlen gelten, die nicht gleich 1 sind. Man sollte immer sicherstellen, dass der Bereich, in dem man arbeitet, mit den Eigenschaften des spezifischen Logarithmus Řbereinstimmt.

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