Die Logarithmusgesetze sind hilfreiche Regeln, die den Umgang mit Logarithmen vereinfachen. Sie ermöglichen es uns, komplexe Logarithmenausdrücke in einfachere Formen zu zerlegen.
1. Produktregel
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen:
\(\log_b(a \times c) = \log_b(a) + \log_b(c)\)
Beispiel:\(\log_2(8 \times 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5\)
2. Quotientenregel
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen:
\(\log_b\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) - \log_b(c)\)
Beispiel:\(\log_3\left(\frac{27}{9}\right) = \log_3(27) - \log_3(9) = 3 - 2 = 1\)
3. Potenzregel
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Exponenten multipliziert mit dem Logarithmus der Basis:
\(\log_b(a^c) = c \times \log_b(a)\)
Beispiel:\(\log_5(25^2) = 2 \times \log_5(25) = 2 \times 2 = 4\)
4. Basiswechselregel
Um die Basis eines gegebenen Logarithmus zu ändern, kann man die Basiswechselregel verwenden:
\(\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}\)
Beispiel:\(\log_2(8) = \frac{\log_10(8)}{\log_10(2)}\)
5. Logarithmus der Basis
Der Logarithmus von a mit Basis a ist immer 1:
\(\log_a(a) = 1\)
Beispiel:\(\log_7(7) = 1\)
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Gesetze in der Regel für alle positiven Zahlen gelten, die nicht gleich 1 sind. Man sollte immer sicherstellen, dass der Bereich, in dem man arbeitet, mit den Eigenschaften des spezifischen Logarithmus übereinstimmt.