Quadratische Ergänzung
Die quadratische Ergänzung ist ein algebraisches Verfahren, mit dem ein quadratisches Trinom in die Form \( (x + p)^2 + q \) umgewandelt wird, wobei \( p \) und \( q \) konstante Werte sind. Dieser Prozess wird oft verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen oder um quadratische Gleichungen einfacher zu lösen.
Verfahren
Angenommen, wir haben ein quadratisches Trinom der Form:
\( ax^2 + bx + c \)
Um dies in die Form \( a(x + p)^2 + q \) zu überführen, führen wir die folgenden Schritte aus:
- Dividiere die Gleichung durch \( a \) (wenn \( a \neq 1 \)), sodass der Koeffizient von \( x^2 \) gleich 1 ist.
- Füge und subtrahiere \( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \) hinzu.
- Gruppiere die Terme, um eine vollständige quadratische Form zu erhalten.
Beispiel
Gegeben sei das Trinom \( x^2 - 6x + 5 \). Um dieses Trinom in eine binomische Formel umzuwandeln, fügen wir und subtrahieren \( (6/2)^2 = 9 \) hinzu:
\( x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 \) = \( (x - 3)^2 - 4 \)
Anwendungen
Die quadratische Ergänzung wird häufig in der Algebra und im Analysisunterricht verwendet. Sie ermöglicht es, den Scheitelpunkt einer Parabel leicht zu identifizieren, da der Scheitelpunkt durch die Koordinaten \( (-p, q) \) gegeben ist. Zudem kann sie genutzt werden, um quadratische Gleichungen mithilfe der Quadratwurzelmethode zu lösen.
Rechenbeispiel
Wandle die Funktion \(f(x) = x^2 + 6x + 5\) in die Scheitelpunktform um.
Lösung:
- Schreibe die quadratische Funktion um, so dass die konstante Zahl fehlt:
- Berechne die quadratische Ergänzung:
- Füge und subtrahiere die quadratische Ergänzung zur Funktion hinzu:
- Fasse die ersten drei Terme als Quadrat einer Binomischen Formel zusammen:
\(f(x) = x^2 + 6x\)
Teile den Koeffizienten von x durch 2 und quadriere das Ergebnis.
\(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9\)
\(f(x) = x^2 + 6x + 9 - 9\)
\(f(x) = (x + 3)^2 - 9\)
Die Funktion \(f(x) = x^2 + 6x + 5\) wurde erfolgreich in die Scheitelpunktform \(f(x) = (x + 3)^2 - 9\) überführt.