Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen oder Ausdrücken, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Die Mathematik mit Matrizen ist ein fundamentaler Bestandteil der linearen Algebra.
Für drei Matrizen \( A, B \) und \( C \) (vorausgesetzt, die Multiplikationen sind definiert) gilt:
\[ A \times (B \times C) = (A \times B) \times C \]Für Matrizen \( A, B \) und \( C \) gilt:
\( A \times (B + C) = A \times B + A \times C \)
\( (A + B) \times C = A \times C + B \times C \)
Nehmen wir folgende Matrizen:
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \)
\( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \)
\( C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \)
Für das Distributivgesetz:
\( A \times (B + C) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 15 \\ \end{pmatrix} \)
Das entspricht \( A \times B + A \times C \).