Trigonometrische Identitäten
Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen, die die Beziehungen zwischen den verschiedenen trigonometrischen Funktionen eines oder mehrerer Winkel beschreiben. Diese Identitäten sind nützlich, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen und um trigonometrische Gleichungen zu lösen.
1. Sinus-, Kosinus- und Tangens-Additionstheoreme
Für zwei Winkel \( \alpha \) und \( \beta \) gelten die folgenden Identitäten:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \)
\( \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \)
\( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} \)
2. Doppelwinkel- und Halbwinkelidentitäten
Für einen Winkel \( \alpha \) gelten:
\( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)
\( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \)
\( \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} \)
3. Pythagoreische Identitäten
Diese Identitäten leiten sich aus dem Pythagoreischen Theorem ab und sind für jeden Winkel \( \alpha \) gültig:
\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
\( 1 + \tan^2(\alpha) = \sec^2(\alpha) \)
\( 1 + \cot^2(\alpha) = \csc^2(\alpha) \)
Beispielrechnung:
Bestimmen Sie \( \sin(45° + 30°) \) mit Hilfe des Sinus-Additionstheorems:
Nach der Identität:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) \)
Ersetzen Sie \( \alpha \) durch 45° und \( \beta \) durch 30°:
\( \sin(45° + 30°) = \sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°) \)
Dies ergibt \( \sin(75°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).