Wurzelgesetze
Die Wurzelgesetze erleichtern das Rechnen mit Wurzeln. Sie sind besonders hilfreich, um Wurzelausdrücke zu vereinfachen.
1. Produkt unter einer Wurzel
Die Wurzel eines Produkts entspricht dem Produkt der Wurzeln:
\(\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}\)
Beispiel:\(\sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3 = 6\)
2. Quotient unter einer Wurzel
Die Wurzel eines Quotienten entspricht dem Quotienten der Wurzeln:
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
Beispiel:\(\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}\)
3. Potenz unter einer Wurzel
Das Ziehen einer Wurzel entspricht dem Potenzieren mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten:
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
Beispiel:\(\sqrt[3]{8^2} = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8}^2 = 2^2 = 4\)
4. Wurzel einer Wurzel
Eine Wurzel unter einer anderen Wurzel kann zusammengefasst werden:
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \times n]{a}\)
Beispiel:\(\sqrt[2]{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[6]{27}\)
Wie bei den Potenzgesetzen ist es auch hier wichtig zu beachten, dass die Gesetze vor allem bei positiven Zahlen gelten. Bei negativen Zahlen oder komplexeren Ausdrücken muss man vorsichtig sein und auf die Definitionsbereiche der Wurzeln achten.